Основы работы с прямыми: ключевые принципы

Основы работы с прямыми: ключевые принципы

— это способность программы исследовать тип или свойства объекта во время работы программы. Как мы уже упоминали, вы можете поинтересоваться, каков тип объекта, является ли он экземпляром класса. Некоторые языки даже позволяют узнать иерархию наследования объекта. Возможность интроспекции есть в таких языках, как Ruby, Java, PHP, Python, C++ и других. В целом, инстроспекция — это очень простое и очень мощное явление. Вот несколько примеров использования инстроспекции:

// Java   if(obj instanceof Person){    Person p = (Person)obj;    p.walk(); }

//PHP   if ($obj instanceof Person) {    // делаем что угодно }

В Python самой распространённой формой интроспекции является использование метода dirдля вывода списка атрибутов объекта:

# Python   class foo(object):   def __init__(self, val):     self.x = val   def bar(self):     return self.x   …   dir(foo(5)) =>

В Ruby интроспекция очень полезна — в частности из-за того, как устроен сам язык. В нём всё является объектами — даже класс — и это приводит к интересным возможностям в плане наследования и рефлексии (об этом ниже). Если вы хотите узнать об этом больше, советую прочитать мини-цикл .

Прим. перев.Также не будет лишним прочитать, посвящённую интроспекции в Ruby.

Связанные вопросы и ответы:

Что такое прямая и какие её основные свойства

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Запомните!

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

В тексте точку обозначают символом « (·)» . Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами « ∈ » и « ∉ ». Знак принадлежности можно запомнить как зеркальное отображение буквы « Э » или как знак евро « € » .

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

• (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a );
• (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a ;
• (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a );
• (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a .

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

На рисунке изображены:
• Прямая a
• Прямая f
• Прямая CH
• Прямая DK

Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE , прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.

Разбор примера

Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B , лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a , используя символы ∈ и ∉ .

Решение задачи

Проведём прямую.

Обозначим её буквой a .

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

• (·)A ∈ a
• (·)B ∈ a
• (·)P ∉ a
• (·)Q ∉ a
• (·)R ∉ a

Задача решена.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Какие виды прямых существуют и в чём их отличия

Геометрия — это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.

Познакомимся с основными геометрическими понятиями, изучаемыми в начальной школе .

Точка

Запомните!

Точка — это основная и самая простая геометрическая фигура.

В геометрии точка обозначается заглавной латинской буквой или цифрой. Многие латинские буквы по написанию похожи на английские буквы.

В тексте точку обозначают следующим символом: « (·) A » — точка « А ».

Прямая

Запомните!

Прямая — это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца.

Слова «не имеет ни начала, ни конца» говорят о том, что прямая бесконечна.

• Через две точки можно провести единственную прямую.
• Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
• Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.

Способы обозначения прямых

• Строчной латинской буквой:

  Прямая « a ».

• Двумя заглавными латинскими буквами в том случае, если этими буквами обозначены точки, расположенные на прямой.

  Прямая « АB ».

Луч

Запомните!

Луч — это часть прямой линии, которая расположена по одну сторону от какой-либо точки. У луча есть начало , но нет конца .

• Двумя заглавными латинскими буквами в том случае, когда первая точка — начало луча, а вторая точка лежит на луче.

  Луч « AB ».

Отрезок

Запомните!

Отрезок — это часть прямой линии, которая ограничена двумя точками (концами отрезка). У отрезка есть и начало , и конец .

Основное свойство отрезка — это его длина.

Длина отрезка — это расстояние между его концами.

В математике отрезок обозначается заглавными латинскими буквами.

Отрезок « AB ».

Ломаная

Запомните!

Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из точек, которые соединены отрезками.

Вершины ломаной — это точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную.

Звенья ломаной — это отрезки ломаной.

В математике ломаная обозначается заглавными латинскими буквами.

Запомните!

Чтобы найти длину ломаной, необходимо сложить длины всех её звеньев (отрезков), из которых она состоит.

Какие основные роли выполняют прямые в геометрии

Давайте разберемся , как определить , пересекаются ли две прямые в пространстве. Это фундаментальный вопрос геометрии , который имеет множество практических применений , от проектирования зданий до компьютерной графики !

Прежде всего , важно понимать разницу между скрещивающимися и пересекающимися прямыми. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и имеют ровно одну общую точку. Представьте две улицы , которые сходятся на перекрестке — это классический пример пересекающихся прямых. Они не могут быть параллельными ! ️

Скрещивающиеся прямые , напротив , не лежат в одной плоскости. Они никогда не пересекаются , даже если кажутся близкими на картинке. Подумайте о двух диагоналях противоположных стенок комнаты — они скрещиваются , но никогда не встретятся.

Изучите нужный раздел, перейдя по ссылке ниже:

Как определить, пересекаются ли две прямые в пространстве? Зачастую это не так просто, как на плоскости. Две прямые могут быть параллельными, пересекающимися или, что наиболее интересно, скрещивающимися – то есть не лежащими в одной плоскости. Для определения взаимного расположения прямых в пространстве нам поможет теорема, которая даёт признак скрещивающихся прямых.
Эта теорема утверждает: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскости в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися. Звучит сложно, но на практике всё достаточно просто. Представьте себе две прямые: первая – это, например, ребро стола (прямая a), лежащее в плоскости столешницы. Вторая прямая (прямая b) – это, скажем, подвешенный к потолку светильник, шнур которого пересекает плоскость столешницы в какой-то точке. Эта точка не находится на ребре стола. Следовательно, прямая a (ребро стола) и прямая b (шнур светильника) – скрещивающиеся. Они никогда не пересекутся, потому что лежат в разных плоскостях.
Чтобы применить теорему на практике, нужно уметь «видеть» плоскости в пространстве. Иногда нужно мысленно построить вспомогательную плоскость, содержащую одну из прямых. Затем проанализировать, как вторая прямая взаимодействует с этой плоскостью. Пересекает ли она её? И если пересекает, то в какой точке? Если точка пересечения не лежит на первой прямой, то перед нами – скрещивающиеся прямые.

Как правильно построить прямую линию на бумаге

Продолжаем рассматривать эти бесконечные-бесконечные прямые. На уроке Уравнение прямой на плоскости мы познакомились с основными видами уравнений, направляющим вектором прямой и её вектором нормали. Данная статья является логическим продолжением темы, и в ней будут разобраны следующие типовые задачи, для опытных путешественников сразу кликабельное оглавление:

О-о-о-о-о… ну и жесть, словновамсам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :

1) совпадать;

2) быть параллельными:;

3) или пересекаться в единственной точке:.

Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке.

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов:. Из каждого уравнения следует, что, следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение:.

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны:, но .

В качестве примера рассмотрим две прямые. Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных:

Однако совершенно очевидно, что.

Вывод:

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что, а из второго уравнения:, значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых:.

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

1) Если мало что понятно, начните со статьи Векторы для чайников .
2) Если не понятно, как находить направляющие векторы прямых, прошу посетить урок Уравнение прямой на плоскости .
3) Если неясно, причём тут определитель, вам сюда – Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов .

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых:

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при переменных пропорциональны, при этом.

Выясним, справедливо ли равенство:

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых:

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов. Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений:.

Теперь выясним, справедливо ли равенство. Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Что происходит, когда две прямые пересекаются

Мы с вами уже немного разобрались в теме, а это значит, что пришло время для задач с нахождением расстояния между параллельными прямыми в пространстве.

Пример 1

Найти расстояние между параллельными прямыми $l$ и $k$.

Рисунок 2. Параллельные прямые, образующие плоскость

Рассмотрим рисунок 2. По теореме, изложенной выше, кратчайшим расстоянием между двумя этими прямыми будет длина перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую, поэтому опустим из точки $X$ на прямую $k$ перпендикуляр, назовём его $h$. Длина этого перпендикуляра и будет решением нашей задачи.

На практике чаще всего нет возможности использования подручных методов типа линейки из-за невозможности исполнения чертежа в масштабе 1:1, поэтому обычно нужно найти расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве имея на руках функции, описывающие данные прямые.

Выше мы показали, что совсем неважно, где именно выбрать точку на одной из двух параллельных прямых, из которой нужно опустить перпендикуляр.

Поэтому в случае параллельности прямых эта задача фактически есть не что иное, как поиск расстояния между точкой, лежащей на одной из этих прямых, и другой прямой.

Формула для нахождения расстояния между параллельными прямыми $d$ и $k$ в один этап в пространстве следующая:

Определение 3

$ρ(d, k) = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} y_2 – y_1 & z_2 - z_1\\ m_1 & n_1 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} x_2 – x_1 & z_2 - z_1\\ l_1 & n_1 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} x_2 – x_1 & y_2 – y_1\\ l_1 & m_1 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}}$

В этой формуле $x_1, y_1, z_1$ — координаты нормального вектора прямой $d$, а $l, m, n$ — направляющий вектор этой прямой, его координаты — это знаменатели из канонических уравнений прямой в пространстве; $x_2, y_2, z_2$ — это координаты нормального вектора второй прямой.

Пример 2

Даны уравнения двух параллельных несовпадающих прямых:

Прямая $d$ задана уравнением $\frac{x + 1}{1}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z + 4}{5}$,

а её параллель $k$ уравнением $\frac{x - 3}{1}=\frac{y + 1}{3}=\frac{z – 2}{5}$.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую.

Координаты нормального вектора для прямой $k$ $\{3;-1;2\}$, а для прямой $d$ $\{-1; 2; -4\}$. Координаты направляющего вектора для первой прямой $\{1; 3; 5\}$.

Как определить угол между двумя прямыми

Паралле́льные прямы́е (отбуквально «идущий рядом; идущий вдоль другого») в—. Вдве прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Впараллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис.1: Соответственные углы равны, $\alpha ={\alpha }_1$ .	Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, $\alpha ={\gamma }_1$ .	Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, $\alpha +{\delta }_1={180}^{\circ }$ .

Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:

$a$ , относительно которой нужно построить параллельную прямую.

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Рисунок 1. Связь канонического и общего уравнения прямой

Для того чтобы составить каноническое уравнение прямой в пространстве, заданной пересечением плоскостей, необходимо познакомиться поближе с 2 исследуемыми плоскостями .

Любую плоскость, находящуюся в пространстве, можно описать с помощью равенства:

где $A, B, C$ и $D$ - постоянные , причём $A, B, C$ не могут быть одновременно все нулевыми.

Соответственно, не нужно быть гением, чтобы понять, что если две плоскости пересечены между собой, то на их общей части будет возлежать некая прямая. Чтобы её найти, нужно получить общее решение следующей системы уравнений :

$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \\ \end{cases}$

С помощью же частного решения этой системы уравнений можно узнать, принадлежит ли какая-либо точка трёхмерной системы координат описанным уравнениями плоскостям и, конечно же, нашей прямой. Для этого нужно просто подставить её икс, игрек и зет в систему.

Приведённая система уравнений является своеобразной “формулой”, служащей для нахождения общего уравнения прямой в пространстве.

Иногда в каких-либо практических задачах требуется получить из уравнения прямой в пространстве в общем виде параметрические или канонические уравнения, тогда в первую очередь вам стоит узнать координаты её направляющего вектора и какую-либо точку, находящуюся на изучаемой прямой.

Ну что ж, давайте решать нашу задачу. На первом этапе вычислим $x, y, z$ для направляющего вектора.

Найдём нормальные вектора для плоскостей. Если кто забыл, нормальный вектор — это такой вектор, который является перпендикулярным (ортогональным) к данной плоскости или прямой.

Для этого из нашего очаровательного примера системы уравнений необходимо взять коэффициенты из уравнений. В итоге для 1-ой плоскости вектор-нормаль будет выглядеть как $(A_1; B_1; C_1)$, а для второй как $(A_2; B_2; C_2)$.

Теперь необходимо перемножить оба вектора и получить их произведение, здесь $(i, j, k)$ - координаты единичного вектора .

$\overline{a} = = \left| \begin{array}{ccc} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ \end{array} \right| = \overline{i} \cdot \left| \begin{array}{cc}\\B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2\\ \end{array} \right| - \overline{j} \cdot \left| \begin{array}{cc}\\ A_1 & C_1 \\ A_2 & C_2 \\ \end{array} \right| + \overline{k} \cdot \left| \begin{array}{cc} \\ A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \\ \end{array} \right| $

$|\overline{n} \cdot \overline{n}| = \overline{i} \cdot (B_1 \cdot C_2 – C_1 \cdot B_2) - \overline{j} \cdot (A_1 \cdot C_2 – A_2 \cdot C_1) + \overline{k} \cdot (A_1 \cdot B_2 – A_2 \cdot B_1)$

Следующим этапом выполняем поиск координат точки, возлежащей на искомой прямой.

Для выполнения этого наиболее "сложного" пункта необходимо выбрать одну наиболее нравящуюся вам координату $x, y$ или $z$ и вместо неё подставить в систему уравнений, описывающую плоскости, нулевое значение.

Пример 1

Составьте каноническое уравнение прямой, получаемой из системы уравнений, описывающей пару пересечённых плоскостей:

$\begin{cases} 2x – y + 3z + 4 = 0 \\ x + 5y – 3z – 7 = 0 \\ \end{cases}$

Найдём направляющий вектор, для этого сначала запишем вектора нормалей плоскостей:

$\overline{n_1}(2;-1;3), \overline{n_2}(1;-5;-3)$

Ну а сейчас пора вычислить сам направляющий вектор:

$\overline{a} = \left| \begin{array}{ccc} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ \end{array} \right| = \overline{i} \cdot \left| \begin{array}{cc}\\ -1 & 3 \\ 5 & -3\\ \end{array} \right| - \overline{j} \cdot \left| \begin{array}{cc}\\ 2 & 3 \\ 1 & -3 \\ \end{array} \right| + \overline{k} \cdot \left| \begin{array}{cc} \\ 2 & -1 \\ 1 & 5 \\ \end{array} \right| $

$\overline{a} = (3 – 15) \cdot \overline{i} - (-6-3) \cdot \overline{j} + (10 +1) \cdot \overline{k} = -12 \overline{i} + 9 \overline{j} + 11 \overline{k}$

Найдём точку, находящуюся на нашей прямой, тут всё просто, приравняем $y$ к нулю и внедрим в нашу систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3z + 4 = 0 \\ x – 3z – 7 = 0 \\ \end{cases}$

Решение вышеприведённой системы уравнений будет: $x = 1, z = -2$, то есть координаты точки, возлежащей на нашей прямой, будут $(1; 0; -2)$.